变分法基础（三）

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前两节我们介绍了泛函和一些积分的引理。到了这一节，我们终于正式谈一谈变分了。读者们可以通过联想我们的微分定义来看一节。 令$J[y]$是赋范线性空间上的一个泛函，定义$\Delta J[h] = J[y + h] - J[y]$。注意上式和y,h都有关系，因此是双变量泛函。当$y$是固定的时候，$\Delta J[h]$就是$h$的泛函。假设$$\Delta J[h] = \phi[h] + \epsilon\|h\|$$，其中$\phi[h]$是一个线性泛函，而当$\|h\|\rightarrow 0\|$时$\epsilon \rightarrow 0$。这个时候我们称$J[y]$是可微的。增量$\Delta J[h]$的主要线性部分就是$\phi[h]$，也被称为$J[y]$的变分，记作$\delta J[y]$。首先我们要证明符号$\delta J[y]$唯一性（$\phi$唯一），和泛函意义上的极值定理（泛函取极值的必要条件）。 定理1： 可微泛函的变分是惟一的。 该定理可以通过假设有两个不同的变分，然后证明他们的差是低于一阶的无穷小量，进而矛盾。 定理2： 若可微函数$J[y]$在$y=\hat{y}$处取极值，那么其变分在$y=\hat{y}$处发散： $$\delta J[h]=0$$对于所有可取的$h$成立。 该定理可以通过假设有一个$h$满足 $\delta J[h]\not=0$，那么对于$-h$来说$\delta J[-h]$的符号相反，这说明在 $y=\hat{y}$ 附近有比 $J[y]$大的值，也有比 $J[y]$小的值。总而言之， $J[y]$不是极值点，矛盾。 我们来看看变分法最基础也是最重要的定理：欧拉方程。 令$y(x)$是$[a, b]$上的连续可微泛函，满足$y(a)=A, y(b)=B$。函数$F(x,y,y')$是二阶可导的函数，我们希望找到函数 $$J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y, y') \mathrm{d} x$$ 关于$y$的极值点。 请注意，这里我们说的极值点对应的搜索空间是$y \in \mathcal{C}^1(a, b)$，而不是一般的$\mathcal{C} (a, b)$。此时，该极值点也被称为弱极值点。 \begin{ali
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变分法基础（一）

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变分法基础（一）


最近由于研究需要的关系，来看了看变分法。变分法的历史最早是从物理中的最速下降曲线来的，而后发展为一类独立的数学方法，可以说是历史悠久。
之前我也学习过一些泛函分析的东西，所以不是很吃力，这里做一些简单的基础的介绍。

赋范向量空间

先回忆我们熟知的向量空间，一个集合$\mathcal{D}$被称作一个线性空间，当它上面的运算加和乘法满足以下性质：（$x, y \in \mathcal{D}$，$\alpha, \beta \in \mathcal{R}$）
  1. $x + y = y +x $
  2. $(x + y) + z = x + (y + z)$
  3. 存在0元，使得$x + 0 = x, \forall x \in \mathcal{D}$
  4. $\forall x, \exists -x$ such that $x + (-x) = 0$
  5. $1 \cdot x = x$
  6. $\alpha(\beta x) = \beta(\alpha x)$
  7. $\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$

一个线性空间被称为赋范的，当其上赋有范数$\| \cdot \|$，满足：
  1. $\|x\| = 0$当且仅当$x =0$
  2. $\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|
  3. $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|

函数空间

我们可以给出一系列的函数组成的集合，使得它也满足上述性质，只是向量的加法变成了函数之间的加法，向量的数乘变成了函数的数乘。对于函数$f,g$数值$\alpha,\beta$上述这两个运算一般都是：
$(f+g)(x) = f(x)+g(x), (\alpha\cdot f)(x) = \alpha f(x)$
可以检验，性质1，2，5，6，7都是满足的；而性质3，4则要求我们的函数空间定义必须严谨。

同样，函数空间上也可以给出一些范数，这里举个例子：再$\mathcal{C}(a,b)$上（所有在[a, b]上连续的函数组成的函数空间），给出范数
$$\|f\| = \max_{a \leq x \leq b} |f(x)|$$
可以验证上述三条性质该范数都是满足的。之后我们会使用$J[y]$这样的符号来表示一个泛函J。

至此，我们简单地介绍了函数空间，一个重要的话题是函数空间上的连续性：

定义：若泛函J[y]满足$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$，满足
$$ |J[y] - J[\hat{y}]| < \epsilon $$时，有$\|y-\hat{y}\| < \delta$，我们称$J[y]$在$\hat{y}\in\mathcal{D}$点连续

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变分法基础（二）

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变分法基础（二） 泛函的变分法本质上是为了求得函数的极值点，与传统的函数极值点类似：在函数极值点附件的一阶偏导都为0；那么类推到泛函的极值点问题上，泛函在极值点附近的变分为0。从这个角度看，变分法是对传统微分的一种推广，从一般线性空间到函数空间。一般来说，我们使用变分法都是为了求得某个以函数为变量的泛函的极值（有点儿绕，我们看看形式化的表达）。 定义1： 给定赋范线性空间$\mathcal{D}$，$h\in\mathcal{D}$，令$\phi[h]$是$\mathcal{D}$上的一个泛函。那么当下列条件满足时，$\phi[h]$被称为连续线性泛函： $\phi[\alpha h]=\alpha \phi[h], \alpha \in \mathcal{R}$ $\phi[h_1+h_2]=\phi[h_1]+\phi[h_2]$ $\phi[h]$是连续的 当$\mathcal{D}$是向量空间时，上述定义不难理解；在变分法里，$\mathcal{D}$一般都取做函数空间，那么$h$是一个函数，而$\phi[h]$就是以函数为变量的泛函，这正是我们要求极值的目标函数，下面举个例子。 例1： $\mathcal{D} = \mathcal{C}(a,b)$（所有在a,b上连续的函数），令$$\phi[h] = \int_a^b h(x)\mathrm{d}x$$ 当我们想要求$\phi[h]$的极值时（当然，该例子中不存在极值），我们就需要变分法了。再引入变分法前，我们先介绍一些积分的性质以便之后使用。 引理1： 如果$\alpha(x)$在$[a, b]$上连续，且对于所有的$h \in \mathcal{C}(a,b), h(a)=h(b)$， $$\int_a^b \alpha(x) h(x) \mathrm{d} x = 0$$ 都成立，那么$\alpha = 0$。 这个证明不难，反证法假设$\alpha$有非零点，那么根据$\alpha$连续的性质总能构造出一个$h$使得$\alpha(x) h(x) \mathrm{d} x$在零点附近的积分不为0；除此之外的部分设$h(x)=0$即可，那么总体的积分不为0，与假设矛盾。 引理2： 如果$\alpha(x)$在$[a, b]$上是
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