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变分法基础(三)

前两节我们介绍了泛函和一些积分的引理。到了这一节,我们终于正式谈一谈变分了。读者们可以通过联想我们的微分定义来看一节。

令$J[y]$是赋范线性空间上的一个泛函,定义$\Delta J[h] = J[y + h] - J[y]$。注意上式和y,h都有关系,因此是双变量泛函。当$y$是固定的时候,$\Delta J[h]$就是$h$的泛函。假设$$\Delta J[h] = \phi[h] + \epsilon\|h\|$$,其中$\phi[h]$是一个线性泛函,而当$\|h\|\rightarrow 0\|$时$\epsilon \rightarrow 0$。这个时候我们称$J[y]$是可微的。增量$\Delta J[h]$的主要线性部分就是$\phi[h]$,也被称为$J[y]$的变分,记作$\delta J[y]$。首先我们要证明符号$\delta J[y]$唯一性($\phi$唯一),和泛函意义上的极值定理(泛函取极值的必要条件)。

定理1:可微泛函的变分是惟一的。
该定理可以通过假设有两个不同的变分,然后证明他们的差是低于一阶的无穷小量,进而矛盾。

定理2:若可微函数$J[y]$在$y=\hat{y}$处取极值,那么其变分在$y=\hat{y}$处发散:
$$\delta J[h]=0$$对于所有可取的$h$成立。
该定理可以通过假设有一个$h$满足$\delta J[h]\not=0$,那么对于$-h$来说$\delta J[-h]$的符号相反,这说明在$y=\hat{y}$附近有比$J[y]$大的值,也有比$J[y]$小的值。总而言之,$J[y]$不是极值点,矛盾。

我们来看看变分法最基础也是最重要的定理:欧拉方程。

令$y(x)$是$[a, b]$上的连续可微泛函,满足$y(a)=A, y(b)=B$。函数$F(x,y,y')$是二阶可导的函数,我们希望找到函数
$$J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y, y') \mathrm{d} x$$
关于$y$的极值点。

请注意,这里我们说的极值点对应的搜索空间是$y \in \mathcal{C}^1(a, b)$,而不是一般的$\mathcal{C} (a, b)$。此时,该极值点也被称为弱极值点。

\begin{align}
\Delta J &= J[y + h] - J…

变分法基础(二)

变分法基础(二) 泛函的变分法本质上是为了求得函数的极值点,与传统的函数极值点类似:在函数极值点附件的一阶偏导都为0;那么类推到泛函的极值点问题上,泛函在极值点附近的变分为0。从这个角度看,变分法是对传统微分的一种推广,从一般线性空间到函数空间。一般来说,我们使用变分法都是为了求得某个以函数为变量的泛函的极值(有点儿绕,我们看看形式化的表达)。
定义1:给定赋范线性空间$\mathcal{D}$,$h\in\mathcal{D}$,令$\phi[h]$是$\mathcal{D}$上的一个泛函。那么当下列条件满足时,$\phi[h]$被称为连续线性泛函:

$\phi[\alpha h]=\alpha \phi[h], \alpha \in \mathcal{R}$$\phi[h_1+h_2]=\phi[h_1]+\phi[h_2]$$\phi[h]$是连续的 当$\mathcal{D}$是向量空间时,上述定义不难理解;在变分法里,$\mathcal{D}$一般都取做函数空间,那么$h$是一个函数,而$\phi[h]$就是以函数为变量的泛函,这正是我们要求极值的目标函数,下面举个例子。
例1:$\mathcal{D} = \mathcal{C}(a,b)$(所有在a,b上连续的函数),令$$\phi[h] = \int_a^b h(x)\mathrm{d}x$$
当我们想要求$\phi[h]$的极值时(当然,该例子中不存在极值),我们就需要变分法了。再引入变分法前,我们先介绍一些积分的性质以便之后使用。
引理1:如果$\alpha(x)$在$[a, b]$上连续,且对于所有的$h \in \mathcal{C}(a,b), h(a)=h(b)$,$$\int_a^b \alpha(x) h(x) \mathrm{d} x = 0$$都成立,那么$\alpha = 0$。
这个证明不难,反证法假设$\alpha$有非零点,那么根据$\alpha$连续的性质总能构造出一个$h$使得$\alpha(x) h(x) \mathrm{d} x$在零点附近的积分不为0;除此之外的部分设$h(x)=0$即可,那么总体的积分不为0,与假设矛盾。
引理2:如果$\alpha(x)$在$[a, b]$上是连续的,且$$\int_a^b \alpha(x)h'(x) \mathrm{d} …

变分法基础(一)

变分法基础(一)
最近由于研究需要的关系,来看了看变分法。变分法的历史最早是从物理中的最速下降曲线来的,而后发展为一类独立的数学方法,可以说是历史悠久。
之前我也学习过一些泛函分析的东西,所以不是很吃力,这里做一些简单的基础的介绍。
赋范向量空间 先回忆我们熟知的向量空间,一个集合$\mathcal{D}$被称作一个线性空间,当它上面的运算加和乘法满足以下性质:($x, y \in \mathcal{D}$,$\alpha, \beta \in \mathcal{R}$)
$x + y = y +x $$(x + y) + z = x + (y + z)$存在0元,使得$x + 0 = x, \forall x \in \mathcal{D}$$\forall x, \exists -x$ such that $x + (-x) = 0$$1 \cdot x = x$$\alpha(\beta x) = \beta(\alpha x)$$\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$
一个线性空间被称为赋范的,当其上赋有范数$\| \cdot \|$,满足:
$\|x\| = 0$当且仅当$x =0$$\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| 函数空间 我们可以给出一系列的函数组成的集合,使得它也满足上述性质,只是向量的加法变成了函数之间的加法,向量的数乘变成了函数的数乘。对于函数$f,g$数值$\alpha,\beta$上述这两个运算一般都是: $(f+g)(x) = f(x)+g(x), (\alpha\cdot f)(x) = \alpha f(x)$ 可以检验,性质1,2,5,6,7都是满足的;而性质3,4则要求我们的函数空间定义必须严谨。
同样,函数空间上也可以给出一些范数,这里举个例子:再$\mathcal{C}(a,b)$上(所有在[a, b]上连续的函数组成的函数空间),给出范数 $$\|f\| = \max_{a \leq x \leq b} |f(x)|$$ 可以验证上述三条性质该范数都是满足的。之后我们会使用$J[y]$这样的符号来表示一个泛函J。
至此,我们简单地介绍了函数空间,一个重要的话题是函数空间上的连续性:
定义:若泛函J[y]满足$\…

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