变分法基础（二）

变分法基础（二）

泛函的变分法本质上是为了求得函数的极值点，与传统的函数极值点类似：在函数极值点附件的一阶偏导都为0；那么类推到泛函的极值点问题上，泛函在极值点附近的变分为0。从这个角度看，变分法是对传统微分的一种推广，从一般线性空间到函数空间。一般来说，我们使用变分法都是为了求得某个以函数为变量的泛函的极值（有点儿绕，我们看看形式化的表达）。

定义1：给定赋范线性空间$\mathcal{D}$，$h\in\mathcal{D}$，令$\phi[h]$是$\mathcal{D}$上的一个泛函。那么当下列条件满足时，$\phi[h]$被称为连续线性泛函：

1. $\phi[\alpha h]=\alpha \phi[h], \alpha \in \mathcal{R}$
2. $\phi[h_1+h_2]=\phi[h_1]+\phi[h_2]$
3. $\phi[h]$是连续的

当$\mathcal{D}$是向量空间时，上述定义不难理解；在变分法里，$\mathcal{D}$一般都取做函数空间，那么$h$是一个函数，而$\phi[h]$就是以函数为变量的泛函，这正是我们要求极值的目标函数，下面举个例子。

例1：$\mathcal{D} = \mathcal{C}(a,b)$（所有在a,b上连续的函数），令 $$\phi[h] = \int_a^b h(x)\mathrm{d}x$$

当我们想要求$\phi[h]$的极值时（当然，该例子中不存在极值），我们就需要变分法了。再引入变分法前，我们先介绍一些积分的性质以便之后使用。

引理1：如果$\alpha(x)$在$[a, b]$上连续，且对于所有的$h \in \mathcal{C}(a,b), h(a)=h(b)$， $$\int_a^b \alpha(x) h(x) \mathrm{d} x = 0$$ 都成立，那么$\alpha = 0$。

这个证明不难，反证法假设$\alpha$有非零点，那么根据$\alpha$连续的性质总能构造出一个$h$使得$\alpha(x) h(x) \mathrm{d} x$在零点附近的积分不为0；除此之外的部分设$h(x)=0$即可，那么总体的积分不为0，与假设矛盾。

引理2：如果$\alpha(x)$在$[a, b]$上是连续的，且 $$\int_a^b \alpha(x)h'(x) \mathrm{d} x = 0$$ 对于所有的$h \in \mathcal{C}^1(a,b), h(a)=h(b)=0$都成立，那么$\alpha(x)\equiv c$。

这个证明需要一点技巧，构造 $$h(x)=\int_{a}^x  \alpha(t) - c \mathrm{d} t$$ ，其中$c = \int_a^b \alpha(x) \mathrm{d} x$，之后通过 $$\int_a^b \alpha(x)h'(x) \mathrm{d} x = 0$$ 可以得到$0 = \int_a^b (\alpha(x)-c)^2 \mathrm{d} x$。那么$a \equiv c$。

还有如下两个定理，证明也都是类似的，就略过了~

引理3：如果$\alpha(x)$在$[a,b]$上是连续的，那么若 $$\int_a^b \alpha(x)h''(x)\mathrm{d}x = 0$$ 对于所有的$h \in \mathcal{C}^2(a,b), h(a) = h(b) = 0, h'(a) = h'(b) = 0$都成立，那么$\alpha(x) = c_0 + c_1x$。

引理4：如果$\alpha(x)$和$\beta(x)$在$[a,b]$上是连续的，如果 $$\int_a^b \alpha(x) h(x) + \beta(x) h'(x) \mathrm{d} x = 0$$ 对于所有的$h \in \mathcal{C}^1(a, b), h(a) = h(b) = 0$都成立，那么$\beta$是可微的，且$\beta'(x) = \alpha(x)$。

好了，基本的微积分引理就需要用到上面这些，下一节我们可以正式谈一谈变分了。