变分法基础(三)
前两节我们介绍了泛函和一些积分的引理。到了这一节,我们终于正式谈一谈变分了。读者们可以通过联想我们的微分定义来看一节。 令J[y]是赋范线性空间上的一个泛函,定义\Delta J[h] = J[y + h] - J[y]。注意上式和y,h都有关系,因此是双变量泛函。当y是固定的时候,\Delta J[h]就是h的泛函。假设\Delta J[h] = \phi[h] + \epsilon\|h\|,其中\phi[h]是一个线性泛函,而当\|h\|\rightarrow 0\|时\epsilon \rightarrow 0。这个时候我们称J[y]是可微的。增量\Delta J[h]的主要线性部分就是\phi[h],也被称为J[y]的变分,记作\delta J[y]。首先我们要证明符号\delta J[y]唯一性(\phi唯一),和泛函意义上的极值定理(泛函取极值的必要条件)。 定理1: 可微泛函的变分是惟一的。 该定理可以通过假设有两个不同的变分,然后证明他们的差是低于一阶的无穷小量,进而矛盾。 定理2: 若可微函数J[y]在y=\hat{y}处取极值,那么其变分在y=\hat{y}处发散: \delta J[h]=0对于所有可取的h成立。 该定理可以通过假设有一个h满足 \delta J[h]\not=0,那么对于-h来说\delta J[-h]的符号相反,这说明在 y=\hat{y} 附近有比 J[y]大的值,也有比 J[y]小的值。总而言之, J[y]不是极值点,矛盾。 我们来看看变分法最基础也是最重要的定理:欧拉方程。 令y(x)是[a, b]上的连续可微泛函,满足y(a)=A, y(b)=B。函数F(x,y,y')是二阶可导的函数,我们希望找到函数 J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y, y') \mathrm{d} x 关于y的极值点。 请注意,这里我们说的极值点对应的搜索空间是y \in \mathcal{C}^1(a, b),而不是一般的\mathcal{C} (a, b)。此时,该极值点也被称为弱极值点。 \begin{ali...