博文

变分法基础(三)

前两节我们介绍了泛函和一些积分的引理。到了这一节,我们终于正式谈一谈变分了。读者们可以通过联想我们的微分定义来看一节。 令J[y]是赋范线性空间上的一个泛函,定义\Delta J[h] = J[y + h] - J[y]。注意上式和y,h都有关系,因此是双变量泛函。当y是固定的时候,\Delta J[h]就是h的泛函。假设\Delta J[h] = \phi[h] + \epsilon\|h\|,其中\phi[h]是一个线性泛函,而当\|h\|\rightarrow 0\|\epsilon \rightarrow 0。这个时候我们称J[y]是可微的。增量\Delta J[h]的主要线性部分就是\phi[h],也被称为J[y]的变分,记作\delta J[y]。首先我们要证明符号\delta J[y]唯一性(\phi唯一),和泛函意义上的极值定理(泛函取极值的必要条件)。 定理1: 可微泛函的变分是惟一的。 该定理可以通过假设有两个不同的变分,然后证明他们的差是低于一阶的无穷小量,进而矛盾。 定理2: 若可微函数J[y]y=\hat{y}处取极值,那么其变分在y=\hat{y}处发散: \delta J[h]=0对于所有可取的h成立。 该定理可以通过假设有一个h满足 \delta J[h]\not=0,那么对于-h来说\delta J[-h]的符号相反,这说明在 y=\hat{y} 附近有比 J[y]大的值,也有比 J[y]小的值。总而言之, J[y]不是极值点,矛盾。 我们来看看变分法最基础也是最重要的定理:欧拉方程。 令y(x)[a, b]上的连续可微泛函,满足y(a)=A, y(b)=B。函数F(x,y,y')是二阶可导的函数,我们希望找到函数 J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y, y') \mathrm{d} x 关于y的极值点。 请注意,这里我们说的极值点对应的搜索空间是y \in \mathcal{C}^1(a, b),而不是一般的\mathcal{C} (a, b)。此时,该极值点也被称为弱极值点。 \begin{ali...

变分法基础(二)

变分法基础(二) 泛函的变分法本质上是为了求得函数的极值点,与传统的函数极值点类似:在函数极值点附件的一阶偏导都为0;那么类推到泛函的极值点问题上,泛函在极值点附近的变分为0。从这个角度看,变分法是对传统微分的一种推广,从一般线性空间到函数空间。一般来说,我们使用变分法都是为了求得某个以函数为变量的泛函的极值(有点儿绕,我们看看形式化的表达)。 定义1: 给定赋范线性空间\mathcal{D}h\in\mathcal{D},令\phi[h]\mathcal{D}上的一个泛函。那么当下列条件满足时,\phi[h]被称为连续线性泛函: \phi[\alpha h]=\alpha \phi[h], \alpha \in \mathcal{R} \phi[h_1+h_2]=\phi[h_1]+\phi[h_2] \phi[h]是连续的 当\mathcal{D}是向量空间时,上述定义不难理解;在变分法里,\mathcal{D}一般都取做函数空间,那么h是一个函数,而\phi[h]就是以函数为变量的泛函,这正是我们要求极值的目标函数,下面举个例子。 例1: \mathcal{D} = \mathcal{C}(a,b)(所有在a,b上连续的函数),令\phi[h] = \int_a^b h(x)\mathrm{d}x 当我们想要求\phi[h]的极值时(当然,该例子中不存在极值),我们就需要变分法了。再引入变分法前,我们先介绍一些积分的性质以便之后使用。 引理1: 如果\alpha(x)[a, b]上连续,且对于所有的h \in \mathcal{C}(a,b), h(a)=h(b)\int_a^b \alpha(x) h(x) \mathrm{d} x = 0 都成立,那么\alpha = 0。 这个证明不难,反证法假设\alpha有非零点,那么根据\alpha连续的性质总能构造出一个h使得\alpha(x) h(x) \mathrm{d} x在零点附近的积分不为0;除此之外的部分设h(x)=0即可,那么总体的积分不为0,与假设矛盾。 引理2: 如果\alpha(x)[a, b]上是...

变分法基础(一)

变分法基础(一) 最近由于研究需要的关系,来看了看变分法。变分法的历史最早是从物理中的最速下降曲线来的,而后发展为一类独立的数学方法,可以说是历史悠久。 之前我也学习过一些泛函分析的东西,所以不是很吃力,这里做一些简单的基础的介绍。 赋范向量空间 先回忆我们熟知的向量空间,一个集合\mathcal{D}被称作一个线性空间,当它上面的运算加和乘法满足以下性质:(x, y \in \mathcal{D}\alpha, \beta \in \mathcal{R}x + y = y +x (x + y) + z = x + (y + z) 存在0元,使得x + 0 = x, \forall x \in \mathcal{D} \forall x, \exists -x such that x + (-x) = 0 1 \cdot x = x \alpha(\beta x) = \beta(\alpha x) \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y 一个线性空间被称为赋范的,当其上赋有范数\| \cdot \|,满足: \|x\| = 0当且仅当x =0 \|\alpha x\| = |\alpha| \|x\| \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| 函数空间 我们可以给出一系列的函数组成的集合,使得它也满足上述性质,只是向量的加法变成了函数之间的加法,向量的数乘变成了函数的数乘。对于函数f,g数值\alpha,\beta上述这两个运算一般都是: (f+g)(x) = f(x)+g(x), (\alpha\cdot f)(x) = \alpha f(x) 可以检验,性质1,2,5,6,7都是满足的;而性质3,4则要求我们的函数空间定义必须严谨。 同样,函数空间上也可以给出一些范数,这里举个例子:再\mathcal{C}(a,b)上(所有在[a, b]上连续的函数组成的函数空间),给出范数 \|f\| = \max_{a \leq x \leq b} |f(x)| 可以验证上述三条性质该范数都是满足的。之后我们会使用J[y]这样的符号来表示一个泛函J。...

新博客的第一波测试

测试新博客的可用性 Latex: 1x<2y 换行公式:E=mc^2 恭喜新博客成立~\(≧▽≦)/~