变分法基础（三）
前两节我们介绍了泛函和一些积分的引理。到了这一节，我们终于正式谈一谈变分了。读者们可以通过联想我们的微分定义来看一节。 令$J[y]$是赋范线性空间上的一个泛函，定义$\Delta J[h] = J[y + h] - J[y]$。注意上式和y,h都有关系，因此是双变量泛函。当$y$是固定的时候，$\Delta J[h]$就是$h$的泛函。假设$$\Delta J[h] = \phi[h] + \epsilon\|h\|$$，其中$\phi[h]$是一个线性泛函，而当$\|h\|\rightarrow 0\|$时$\epsilon \rightarrow 0$。这个时候我们称$J[y]$是可微的。增量$\Delta J[h]$的主要线性部分就是$\phi[h]$，也被称为$J[y]$的变分，记作$\delta J[y]$。首先我们要证明符号$\delta J[y]$唯一性（$\phi$唯一），和泛函意义上的极值定理（泛函取极值的必要条件）。 定理1： 可微泛函的变分是惟一的。 该定理可以通过假设有两个不同的变分，然后证明他们的差是低于一阶的无穷小量，进而矛盾。 定理2： 若可微函数$J[y]$在$y=\hat{y}$处取极值，那么其变分在$y=\hat{y}$处发散： $$\delta J[h]=0$$对于所有可取的$h$成立。 该定理可以通过假设有一个$h$满足 $\delta J[h]\not=0$，那么对于$-h$来说$\delta J[-h]$的符号相反，这说明在 $y=\hat{y}$ 附近有比 $J[y]$大的值，也有比 $J[y]$小的值。总而言之， $J[y]$不是极值点，矛盾。 我们来看看变分法最基础也是最重要的定理：欧拉方程。 令$y(x)$是$[a, b]$上的连续可微泛函，满足$y(a)=A, y(b)=B$。函数$F(x,y,y')$是二阶可导的函数，我们希望找到函数 $$J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y, y') \mathrm{d} x$$ 关于$y$的极值点。 请注意，这里我们说的极值点对应的搜索空间是$y \in \mathcal{C}^1(a, b)$，而不是一般的$\mathcal{C} (a, b)$。此时，该极值点也被称为弱极值点。 \begin{ali
评论
发表评论