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变分法基础（三）

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- 三月 06, 2019

前两节我们介绍了泛函和一些积分的引理。到了这一节，我们终于正式谈一谈变分了。读者们可以通过联想我们的微分定义来看一节。令

$J[y]$ 是赋范线性空间上的一个泛函，定义

$\Delta J[h] = J[y + h] - J[y]$ 。注意上式和y,h都有关系，因此是双变量泛函。当

$y$ 是固定的时候，

$\Delta J[h]$ 就是

$h$ 的泛函。假设

$\Delta J[h] = \phi[h] + \epsilon\|h\|$ ，其中

$\phi[h]$ 是一个线性泛函，而当

$\|h\|\rightarrow 0\|$ 时

$\epsilon \rightarrow 0$ 。这个时候我们称

$J[y]$ 是可微的。增量

$\Delta J[h]$ 的主要线性部分就是

$\phi[h]$ ，也被称为

$J[y]$ 的变分，记作

$\delta J[y]$ 。首先我们要证明符号

$\delta J[y]$ 唯一性（

$\phi$ 唯一），和泛函意义上的极值定理（泛函取极值的必要条件）。定理1：可微泛函的变分是惟一的。该定理可以通过假设有两个不同的变分，然后证明他们的差是低于一阶的无穷小量，进而矛盾。定理2：若可微函数

$J[y]$ 在

$y=\hat{y}$ 处取极值，那么其变分在

$y=\hat{y}$ 处发散：

$\delta J[h]=0$ 对于所有可取的

$h$ 成立。该定理可以通过假设有一个

$h$ 满足

$\delta J[h]\not=0$ ，那么对于

$-h$ 来说

$\delta J[-h]$ 的符号相反，这说明在

$y=\hat{y}$ 附近有比

$J[y]$ 大的值，也有比

$J[y]$ 小的值。总而言之，

$J[y]$ 不是极值点，矛盾。我们来看看变分法最基础也是最重要的定理：欧拉方程。令

$y(x)$ 是

$[a, b]$ 上的连续可微泛函，满足

$y(a)=A, y(b)=B$ 。函数

$F(x,y,y')$ 是二阶可导的函数，我们希望找到函数

$J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y, y') \mathrm{d} x$ 关于

$y$ 的极值点。请注意，这里我们说的极值点对应的搜索空间是

$y \in \mathcal{C}^1(a, b)$ ，而不是一般的

$\mathcal{C} (a, b)$ 。此时，该极值点也被称为弱极值点。 \begin{ali...

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- 三月 05, 2019

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$1x<2y$
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$E=mc^2$

恭喜新博客成立~\(≧▽≦)/~

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变分法基础（一）

- 三月 05, 2019

变分法基础（一）最近由于研究需要的关系，来看了看变分法。变分法的历史最早是从物理中的最速下降曲线来的，而后发展为一类独立的数学方法，可以说是历史悠久。之前我也学习过一些泛函分析的东西，所以不是很吃力，这里做一些简单的基础的介绍。赋范向量空间先回忆我们熟知的向量空间，一个集合

$\mathcal{D}$ 被称作一个线性空间，当它上面的运算加和乘法满足以下性质：（

$x, y \in \mathcal{D}$ ，

$\alpha, \beta \in \mathcal{R}$ ）

$x + y = y +x$

$(x + y) + z = x + (y + z)$ 存在0元，使得

$x + 0 = x, \forall x \in \mathcal{D}$

$\forall x, \exists -x$ such that

$x + (-x) = 0$

$1 \cdot x = x$

$\alpha(\beta x) = \beta(\alpha x)$

$\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$ 一个线性空间被称为赋范的，当其上赋有范数

$\| \cdot \|$ ，满足：

$\|x\| = 0$ 当且仅当

$x =0$

$\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|$ \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| 函数空间我们可以给出一系列的函数组成的集合，使得它也满足上述性质，只是向量的加法变成了函数之间的加法，向量的数乘变成了函数的数乘。对于函数

$f,g$ 数值

$\alpha,\beta$ 上述这两个运算一般都是：

$(f+g)(x) = f(x)+g(x), (\alpha\cdot f)(x) = \alpha f(x)$ 可以检验，性质1，2，5，6，7都是满足的；而性质3，4则要求我们的函数空间定义必须严谨。同样，函数空间上也可以给出一些范数，这里举个例子：再

$\mathcal{C}(a,b)$ 上（所有在[a, b]上连续的函数组成的函数空间），给出范数

$\|f\| = \max_{a \leq x \leq b} |f(x)|$ 可以验证上述三条性质该范数都是满足的。之后我们会使用

$J[y]$ 这样的符号来表示一个泛函J。...

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变分法基础（二）

- 三月 05, 2019

变分法基础（二）泛函的变分法本质上是为了求得函数的极值点，与传统的函数极值点类似：在函数极值点附件的一阶偏导都为0；那么类推到泛函的极值点问题上，泛函在极值点附近的变分为0。从这个角度看，变分法是对传统微分的一种推广，从一般线性空间到函数空间。一般来说，我们使用变分法都是为了求得某个以函数为变量的泛函的极值（有点儿绕，我们看看形式化的表达）。定义1：给定赋范线性空间

$\mathcal{D}$ ，

$h\in\mathcal{D}$ ，令

$\phi[h]$ 是

$\mathcal{D}$ 上的一个泛函。那么当下列条件满足时，

$\phi[h]$ 被称为连续线性泛函：

$\phi[\alpha h]=\alpha \phi[h], \alpha \in \mathcal{R}$

$\phi[h_1+h_2]=\phi[h_1]+\phi[h_2]$

$\phi[h]$ 是连续的当

$\mathcal{D}$ 是向量空间时，上述定义不难理解；在变分法里，

$\mathcal{D}$ 一般都取做函数空间，那么

$h$ 是一个函数，而

$\phi[h]$ 就是以函数为变量的泛函，这正是我们要求极值的目标函数，下面举个例子。例1：

$\mathcal{D} = \mathcal{C}(a,b)$ （所有在a,b上连续的函数），令

$\phi[h] = \int_a^b h(x)\mathrm{d}x$ 当我们想要求

$\phi[h]$ 的极值时（当然，该例子中不存在极值），我们就需要变分法了。再引入变分法前，我们先介绍一些积分的性质以便之后使用。引理1：如果

$\alpha(x)$ 在

$[a, b]$ 上连续，且对于所有的

$h \in \mathcal{C}(a,b), h(a)=h(b)$ ，

$\int_a^b \alpha(x) h(x) \mathrm{d} x = 0$ 都成立，那么

$\alpha = 0$ 。这个证明不难，反证法假设

$\alpha$ 有非零点，那么根据

$\alpha$ 连续的性质总能构造出一个

$h$ 使得

$\alpha(x) h(x) \mathrm{d} x$ 在零点附近的积分不为0；除此之外的部分设

$h(x)=0$ 即可，那么总体的积分不为0，与假设矛盾。引理2：如果

$\alpha(x)$ 在

$[a, b]$ 上是...

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